物理ノート

相対性理論

ローレンツ変換におけるブーストと回転

量子力学

角運動量型演算子

固有値

ある3つのエルミート演算子$\hat{l}_x$,$\hat{l}_y$,$\hat{l}_z$が以下の条件を満たすとします。 $[\hat{l}_x,\hat{l}_y]=i\hbar\hat{l}_z,$
$[\hat{l}_y,\hat{l}_z]=i\hbar\hat{l}_x,$
$[\hat{l}_z,\hat{l}_x]=i\hbar\hat{l}_y$ このとき,$\hat{\bm{l}}^2$と$\hat{l}_z$の同時固有ベクトルの固有値は,次のような組になります。 $\hat{\bm{l}}^2$の固有値: $l(l+1)\hbar^2$
$\hat{l}_z$の固有値: $m\hbar$ ただし,$l$と$m$はどちらも整数または半整数で,次の条件を満たす組です。 $l\geq0,\ |m|\leq l$

ある3つのエルミート演算子$\hat{l}_x$,$\hat{l}_y$,$\hat{l}_z$が以下の条件を満たすとします。 $[\hat{L}_x,\hat{L}_y]=\hat{L}_z,$
$[\hat{L}_y,\hat{L}_z]=\hat{L}_x,$
$[\hat{L}_z,\hat{L}_x]=\hat{L}_y$ このとき,$\hat{\bm{L}}^2$と$\hat{L}_z$の同時固有ベクトルの固有値は,次のような組になります。 $\hat{\bm{L}}^2$の固有値: $-l(l+1)$
$\hat{L}_z$の固有値: $-im$ ただし,$l$と$m$はどちらも整数または半整数で,次の条件を満たす組です。 $l\geq0,\ |m|\leq l$

証明
$\hat{\bm{l}}^2$と$\hat{l}_z$の同時固有ベクトルの一つを$v$と置きます。 $\hat{\bm{l}}^2v=\lambda v,$
$\hat{l}_zv=\mu v,$
$v\neq0$ このとき,次が成り立ちます。 $\lambda|v|^2=|\hat{l}_xv|^2+|\hat{l}_yv|^2+|\hat{l}_zv|^2$ $(左辺)=(v,\lambda v)=(v,\hat{\bm{l}}^2v)=(v,\hat{l}_x^2v)+(v,\hat{l}_y^2v)+(v,\hat{l}_z^2v)$ $|v|^2>0$,$|\hat{l}_xv|^2\geq0$,$|\hat{l}_yv|^2\geq0$,$|\hat{l}_zv|^2\geq0$より,$\lambda$について次のことが言えます。 $\lambda\geq0,$
$\lambda=0\ \Longleftrightarrow\ \hat{l}_xv=\hat{l}_yv=\hat{l}_zv=0$

$\hat{\bm{l}}^2$

$\hat{\bm{l}}^2:=\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2+\hat{l}_z^2$

$\hat{L}_x$

$\displaystyle\hat{L}_x:=\frac{\hat{l}_x}{i\hbar}$

$\hat{L}_y$

$\displaystyle\hat{L}_y:=\frac{\hat{l}_y}{i\hbar}$

$\hat{L}_z$

$\displaystyle\hat{L}_z:=\frac{\hat{l}_z}{i\hbar}$

$\hat{\bm{L}}^2$

$\displaystyle\hat{\bm{L}}^2:=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2=-\frac{\hat{\bm{l}}^2}{\hbar^2}$

場の理論

場の解析力学

対称性と保存量

ネーターの定理